Аналіз напруженого і деформованого стану у точці тіла

 

1. Компоненти напруженого стану. Поняття про тензор напружень.

2. Види напруженого стану.

3. Напруження у скісних перерізах при плоскому напруженому стані.

4. Узагальнений і об'ємний закон Гука.

 

 

5.1. Компоненти напруженого стану. Поняття про тензор напружень

 

Навколо довільної точки з координатами х, у, z тіла, навантаженого зрівноваженою системою сил, виділимо елементарний паралелепіпед з ребрами dх, dу, dz, паралельними відповідним координатним осям (рис. 1).

 

                            Рис. 1.                                               Рис. 2.

 

У загальному випадку навантаження тіла і при довільному виборі напрямів ребер виділеного елемента на його границях виникають повні напруження, які, як відомо, можна розкласти на нормальні та дотичні складові. У свою чергу, кожне дотичне напруження можна ще раз розкласти на дві її складові, паралельні відповідним координатним осям. Нормальні напруження позначимо індексами осей, у напрямі яких вони діють: s_x, s_y, s_z. Дотичним напруженням t дамо два індекси: перший з них вказує напрям осі, вздовж якої діє дана складова дотичного напруження, другий - напрям зовнішньої нормалі до площинки, на якій дана складова виникає (рис 2).

Таким чином, напружений стан у довільній точці тіла можна зобразити системою дев'яти векторів нормальних і дотичних напружень, що виникають на трьох взаємно перпендикулярних площинках:

s_x,            t_xy,           t_xz,

                                            t_yx,           s_y,            t_yz,                                        (1)

t_zx,           t_zy,            s_z.

На основі закону парності дотичних напружень складові дотичних напружень, що виникають на двох взаємно перпендикулярних площинах, рівні між собою:

| t_xy | = | t_yx |;

                                                    | t_yz | = | t_zy |;                                                 (2)

| t_zx | = | t_xz |;

 

Отже, з дев'яти компонентів напружень (1) залишається шість різних: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz, t_yz. Їх можна записати у таблицю (матрицю), на головній діагоналі якої розташовані нормальні напруження. А точки вказують на те, що дотичні напруження, замість яких поставлені, дорівнюють дотичним напруженням, розташованим симетрично відносно головної діагоналі:

                                              s_x,        t_xy,       t_xz,

                                               .  ,        s_y,       t_yz,                                              (3)

                                               .  ,        .  ,         s_z

 

Симетричну квадратну матрицю (3) називають тензором напружень. Компоненти тензора напружень є свого роду координатами, які визначають напружений стан у точці тіла Тому напружений стан у точці тіла повністю означений, якщо відомий тензор напружень для цієї точки.

Компоненти тензора напружень (3) віднесені до трьох взаємно перпендикулярних площинок, напрямки яких залежать від напрямків довільно вибраних координатних осей x, y, z. При інших напрямках осей компоненти тензора напружень мали б інші значення. Однак напружений стан у даній точці не може за своєю природою залежати від довільного вибору координатних осей, тобто він інваріантний відносно перетворення координатної системи; тому тензор напружень може бути зображений не лише своїми координатами s_x, s_y, s_z, t_xy, t_xz, t_yz, які залежать від координатних осей, але й величинами, які від них не залежать, тобто інваріантними. Інваріанти слід вважати основними характеристиками напруженого стану у точці, а компоненти напружень лише допоміжними характеристиками, оскільки вони зв'язані з координатою системою.

 

5.2. Види напруженого стану

Вивчаючи напружений стан матеріалу при розтягу або стиску, ми відзначили, що навколо будь-якої точки стержня можна виділити площинки, на яких немає дотичних напружень Такі площинки називають головними площинками, а нормальні напруження, які на них виникають, — головними напруженнями.

Доведено, що у будь-якій точці довільно навантаженого тіла можна завжди вказати три взаємно перпендикулярні головні площинки. Величина головних напружень, які на них виникаюгь, не залежить від методу їх знаходження, зокрема від вжитої при цьому системи координат. Тому головні напруження є інваріантами перетворення координат.

Головні напруження можуть усі не дорівнювати нулеві, або деякі з них можуть йому дорівнювати. Наприклад, у розглянутому раніше випадку осьової дії сили ми встановили, що головні напруження рівні нулеві на площинках, паралельних напрямку дії сили.

Залежно від того, скільки є- нерівних нулеві головних напружень, розрізняють три види напруженого стану матеріалу: об'ємний (тривісний), плоский (двовісний) і лінійний (одновісний).

Головні напруження позначають індексами 1, 2, 3, причому завжди вважатимемо, що s₁ ³ s₂ ³ s₃.

Об'ємним, або тривісним, напруженим станом називається такий напружений стан, при якому всі три головні напруження не дорівнюють нулеві, тобто коли s₁ ¹ 0, s₂ ¹ 0, s₃ ¹ 0.

Якщо навколо розглядуваної точки виділити елементарний кубик, грані якого збігаються з головними площинками, то при об'ємному напруженому стані на всіх гранях кубика виникатимуть головні напруження (рис. 3, а). При плоскому напруженому стані одне головне напруження дорівнює. нулеві (рис. 3, б), при лінійному — два головних напруження дорівнюють нулеві (рис. 3, в).

 

Рис. 3.

На рис. 3 показані лише розтягуючі головні напруження, однак вони можуть бути як розтягуючими, так і стискуючими і виступати в різних комбінаціях.

Лінійний напружений стан ми вивчили, розглядаючи розтяг або стиск прямого стержня. Зараз перейдемо до вивчення плоского напруженого стану і розглянемо деякі питання, що стосується об'ємного напруження стану. Слід зауважити, що основні задачі опору матеріалів, які ми пізніше розглянемо, зводяться до розгляду плоского напруженого етапу. Об'ємний напружений стан у загальній постановці вивчають у курсі теорії пружності.

 

5.3. Напруження у скісних перерізах при плоскому напруженому стані

В околі довільної точки тіла, матеріал якого перебуває в плоскому напруженому стані, виділимо елементарний кубик, грані якого є головними площинками. Нехай обидва головні напруження розтягуючі.

Визначимо напруження на площинці, перпендикулярній до фасадної грані елемента і довільно нахиленої відносно його бокових граней (заштрихованій на рис. 4).

Рис. 4.

Нехай зовнішня нормаль n_a до нахиленої площинки утворює з напрямком напруження s₁ кут a, що вважається додатним при відкладанні проти ходу стрілки годинника (рис. 5).

Рис. 5.

Нормальні і дотичні напруження на нахиленій площинці визначимо, використовуючи одержані раніше формули для цих же напружень при лінійному напруженому стані і застосовуючи принцип додавання дії сил.

У даному випадку використання цього принципу зведеться до того, що ми спочатку визначимо напруження, викликані дією головного напруження s₁, а потім дією головного напруження s₂. У результаті одержимо нормальні і дотичні напруження на нахиленій площинці як суму відповідних напружень при двох лінійних напружених станах.

Виходячи з відомих залежностей для напружень при лінійному напруженому стані, одержимо:

;     (4)

                     .                  (5)

Формули (4), (5) справедливі при будь-якій комбінації головних напружень. При користуванні ними треба, згідно з ходом їх виведення, першим підставляти те головне напруження, відносно якого заміряється кут a.

Перевіримо ще, на яких площинках виникають екстремальні нормальні напруження. З умови

знайдемо

- (s₁ - s₂)sin2a = 0,

або

sin2a = 0.

Як випливає з формули (5), ця умова рівнозначна умові

t_a = 0.

Отже, екстремальні нормальні напруження виникають на площинках, на яких немає дотичних напружень, тобто на головних площинках.

У даному випадку маємо:

при a = 0          s_a = s₁ = max;

при a = 90⁰       s_a = s₂ = min.

 

5.4. Узагальнений і об'ємний закон Гука

 

Визначимо відносні і лінійні деформації e₁, e₂, e₃ ребер елементарного кубика, що знаходиться у стані всебічного розтягу, у напрямку кожного з головних напружень (рис. 6).

 

Рис. 6.

Використовуючи спосіб суперпозиції, зобразимо відносну лінійну деформацію e₁ у напрямку головного напруження s₁ як суму деформацій, викликаних дією напружень s₁, s₂ і s₃, взятих окремо, тобто як суму деформацій при трьох не залежних від себе лінійних напружених станах. Користуючись формулами закону Гука для лінійного напруженого стану, а саме:

s = Ee,

де E - стала матеріалу, що має розмірність напруження і називається модулем пружності; e = Dl / l - відносна лінійна деформація;

та використовуючи в межах справедливості закону Гука відносне поперечне скорочення (звуження) стержня e^´ пов’язане з його відносним подовженням e також лінійною залежністю:

e^‛ = - me,

де m - коефіцієнт пропорційності, що називається коефіцієнтом Пуассона, одержимо:

 

e₁ = .

Аналогічно можна знайти відносні лінійні деформації e₂ і e₃ у напрямках головних напружень s₂ і s₃. У результаті будемо мати після спрощення залежності:

 

e₁ = ;

                                          e₂ = ;                                     (6)

e₃ = .

 

Формулами (6) виражається узагальнений закон Гука. В окремому випадку, коли одне з головних напружень дорівнює нулеві, одержимо закон Гука при плоскому напруженому стані. Якщо, наприклад, s₃ = 0, то матимемо:

 

e₁ = ;

                                               e₂ = ;                                          (7)

e₃ = .

Визначимо ще відносну зміну об’єму елемента. Приймаючи довжину ребер елементарного кубика матеріалу перед деформуванням рівною одиниці, одержимо для його об’єму величину V = 1. Після деформування довжина кожного з ребер елемента зміниться на величину відповідної відносної лінійної деформації, і його об’єм дорівнюватиме:

V₁ = (1 + e₁) (1 + e₂) (1 + e₃).

Нехтуючи добутками малих величин, одержимо з останньої формули

V₁ = 1 + e₁ + e₂ + e₃.

Відносна зміна об’єму, яка позначається через q, буде

 

q = (1 + e₁ + e₂ + e₃ - 1)/1,

тобто

                                                        q = e₁ + e₂ + e₃.                                                   (8)

Використовуючи формули (6), можна записати

 

                                          q = .                                      (9)

Формули (8) і (9) для відносної зміну об’єму виражають так званий об’ємний закон Гука. Ми бачимо, що відносна зміна об’єму залежить лише від суми головних напружень, а не від їх співвідношення. Тому сума головних напружень є одним з інваріантів напруженого стану.